Понятие нечетких множеств (fuzzy sets) было введено в 1965 г. Л.Заде как обощение понятия классических множеств. В нечетком множестве каждый его элемент может принадлежать множеству частично, тогда как в классических множествах элемент или целиком принадлежит множеству, или нет. Степень принадлежности элемента a нечеткому множеству A характеризуется коэффициентом принадлежности , обозначаемому muA(a).
muA(a) - действительное число , принимающее значение в диапазоне (0,1), при этом 1 означает 100%-ю (безусловную) принадлежность a к множеству А, а 0 - безусловное отсутствие a в А.
Отображение множества элементов x во множество значений muA(x) образует функцию принадлежности muA(x).
Функция muA(x) может быть определена явно в виде, например, алгебраического выражения или таблично (дискретно) в виде массива пар
В теории нечетких множеств помимо числовых переменных существуют переменные лингвистические. Например, лингвистичекая переменная "температура тела человека" может принимать значения: "пониженная", "нормальная", "повышенная", "высокая".
Нечеткое множество "нормальная температура тела" может быть дискретно задано следующим образом:
То же множество может быть представлено следующим выражением:
На представленном ниже рисунке даны графики функций принадлежности для множеств, связанных с лингвистической переменной "температура тела человека".
Носителем нечеткого множества A Supp(A) являются все элементы, для которых коэффициент принадлежности больше нуля, т.е. Supp(A)={x|muA(x)>0}. В приведенном выше примере табличного задания функции принадлежности носителем нечеткого множества "нормальная температура" является следующее множество:
Два нечетких множества A и B равны между собой тогда и только тогда, когда muA(x)=muB(x) для всех элементов этих множеств.
Кардинальное число нечеткого множества A - сумма коэффициентов принадлежности всех элементов этого множества, т.е. M(A)=sum[i](muA(xi)).
Нечеткое множество называется нормальным, если хотя бы один его элемент имеет коэффициент принадлежности равный 1.
Сечением Aalpha нечеткого множества A называется подмножество элементов A, для которых muA(x)>alpha (слабое сечение) или muA(x)>=alpha (сильное сечение), при этом alpha принадлежит [0,1].
Основными операциями на нечетких множествах являются следующие.
Нечеткое множество A считается подмножеством нечеткого множества B, если для всех элементов A выполняется неравенство muA(x)<=muB(x).
Описанные выше операции на нечетких множествах обладают следующими свойствами:
Для определения степени нечеткости множества введено понятие меры нечеткости, сводящейся к измерению уровня различия между нечетким множеством A и его отрицанием ~A.
Наиболее популярна мера Е.Егера
Другую меру нечеткости предложил Б.Коско, она основана на кардинальных числах множеств
В простейшем случае нечеткая продукция имеет следующий вид:
В более общем случае нечеткая продукция принимает такую форму:
Для вычисления значения коэффициента принадлежности сложного коньюнктивного условия продукции используются 2 способа:
Приписывание значения коэффициента принадлежности сложному условию продукции будем называть агрегированием условия.
Для вычисления коэффициента принадлежности продукции в целом
также используется два способа:
Такой расчет значения функции принадлежности называется агрегированием на уровне продукции.
Продукционные системы с нечеткими продукциями называются нечеткими продукционными системами (ПС).
В технических и ряде других приложений в качестве входов x1, x2, ... ,xN и выхода y часто выступают доступные к измерению числовые величины. В такой ситуации для согласования нечетких продукций, оперирующих лингвистическими переменными, с входами/выходами в виде числовых значений в состав ПС вводятся так называемые фуззификатор и дефуззификатор. Фуззификатор преобразует множество входных данных в нечеткое множество, определяемое с помощью значений функции принадлежности, а дефуззификатор преобразует нечеткое множество, определяемое с помощью значений функции принадлежности, в конкретное значение.
Представленный ниже рис. упрощенно иллюстрирует функционирование
нечеткой ПС Мамдани-Заде.
Поступившие на вход значения (например, результаты измерений на реальном физическом объекте) xi, i=1,2, ... , N, преобразуются в значения mu(xi) функций принадлежности нечетких множеств, с которыми оперирует ПС. Интепретатор ПС выбирает из базы нечетких продукций все применимые к входным данным продукции и определяет функции (???) принадлежности переменных y из правой части продукций. Поскольку в общем случае применимыми оказываются несколько продукций, то возникает проблема агрегирования функций принадлежности из правыхчастей отдельных продукций. Это объединение функций принадлежности реализуется, как правило, оператором логического сложения. Нечеткий результат в виде функции принадлежности mu(y) трансформируется дефуззификатором в конкретное значение выхода y.
Пример. Пусть на вход нечеткой ПС поступают 2 величины x1 и x2.Фуззификатор, используя базу функций принадлежности всех известных ему нечетких множеств, определяет значения коэффициентов принадлежности. Отличными от 0 оказались три коэффициента принадлежности muA1(x1)=0,5, muA2(x2)=0,25, muA3(x2)=0,75 для трех нечетких множеств A1, A2 и A3, как это показано ниже.
Далее интерпретатор выявил две применимые нечеткие продукции:
P1: ЕСЛИ x1 это A1 И x2 это A2, ТО y это B1,
P2: ЕСЛИ x1 это A1 И x2 это A3, ТО y это B2.
Для каждой из продукций в виде логического произведения выполняется
агрегирование левой части (условия):
muИ1=min{muA1(x1), muA2(x2)}=0,25,
muИ2=min{muA1(x1), muA3(x2)}=0,5.
Затем выполняется агрегирование (опять же логическим произведением) на уровне продукций, как это показано на представленном ниже рисунке.
Результат агрегирования - функции принадлежности, графики которых выделены жирной линией.
Далее агрегатор продукций дает итоговую функцию принадлежности в виде логической суммы функций принадлежности отдельных продукций, как это показано на рисунке ниже.
В конце концов дефуззификатор превращает итоговую функцию принадлежности в конкретное значение числовой величины y.
Фуззификатор осуществляет преобразование четкого множества X в нечеткое множество A, характеризующееся функцией принадлежности muA(x). Наибольшее распространение на практике получили функции принадлежности гауссова типа, а также треугольные и трапецеидальные функции.
Функция Гаусса для переменной x с центром c и параметром ширины s имеет следующий вид
На представленном ниже рисунке даны графики этой функции для c=1 и s=1, 0,5, 0,25, 0,05.
Находит также применение обощенная гауссова функция в виде
Легко заметить, что подбором параметра формы b обощенной функции Гаусса можно придать треугольную и трапецеидальную формы. Обобщенная функция Гаусса может быть также представлена в рациональной форме
Симметричная треугольная функция принадлежности может быть
описана в виде
muA(x)=1-|x-c|/d для c-d<x<c+d,
muA(x)=0 для всех остальных x.
График треугольной функции принадлежности дан ниже.
Дефуззификатор преобразует нечеткое множество, заданное функцией принадлежности muA(x), в точечное решение. Для такого преобразования могут быть использованы многие способы, наиболее популярны следующие.
На представленном ниже рисунке показано применение некоторых способов дефуззификации.
Результат, интересный с точки зрения пременения в нейронных сетях, может быть получен при использовании в нечеткой продукционной системы:
Обозначим через X=[x1, x2, ..., xN]T входной вектор. Пусть имеется M нечетких продукций вида
Тогда агрегирование алгебраическим произведением условий каждой продукции дает
Учитывая то, что для агрегирования относительно продукции используется логическое произведение (минимум из двух), и то, что muBi(ci)=1, где ci - это центр функции принадлежности нечеткого множества Bi из правой части продукции, в качестве значения функции принадлежности относительно i-ой продукции в целом также будем иметь
Дефуззификация относительно среднего центра дает
При использовании для функций принадлежности всех множеств Aij обобщенной функции Гаусса в виде
Доказано, что представленная непрерывная функция f(X) при соответствующем подборе параметров cij, sij, bij и ci может аппроксимировать заданную непрерывную функцию g(X) с произвольной точностью.
Ниже будет рассмотрена реализация полученного для f(X) выражения в виде многослойной нейронной сети, называемой нечеткой нейронной сетью.
Широкую популярность среди нечетких продукционных систем получила система Такаги-Сугено-Канга (TSK), продукции которой выглядят следущим образом:
Поскольку в правых частях продукций определяются конкретные значения выходов yi, дефуззификатор на выходе системы не требуется.
Функция в правой части продукции - это, чаще всего, полином первой степени
При использовании M продукций итоговый выход y системы
определяется как средневзвешенная сумма в виде
Для вычисления веса wi i-ой продукции в ПС
используется агрегирование (в виде логического или алгебраического
произведения) условий нечетких правил.